4.1 直线的方向向量与平面的法向量 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 3.若平面α∥β,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是( ) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 4.下列各组向量中不平行的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( ) A.x=6,y=15 B.x=3,y=152 C.x=3,y=15 D.x=6,y=152 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是 .(填序号) ①AB ②AA1 ③B1B ④A1C1 7.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n. 8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB. 能力达标 9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是( ) A.1,1,12 B.(1,2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是( ) A.(1,-4,2) B.14,-1,12 C.-14,1,-12 D.(0,-1,1) 12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=( ) A.(0,-1,3) B.(0,1,3) C.(0,-1,-3) D.(0,1,-3) 13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是( ) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是 . 15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y= . 16.四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量. 17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置. 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案A 2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 答案D 3.若平面α∥β,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是( ) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 答案D 解析因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合. 4.下列各组向量中不平行的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 答案D 5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( ) A.x=6,y=15 B.x=3,y=152 C.x=3,y=15 D.x=6,y=152 答案D 解析由题意,有a∥b,则32=x4=y5,得x=6,y=152. 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是 .(填序号) ①AB ②AA1 ③B1B ④A1C1 答案②③ 7.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n. 解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1). 设平面ACD1的法向量n=(x,y,z). ∵AC=(-1,1,0), AD1=(-1,0,1), 又n为平面ACD1的一个法向量, ∴n·AC=0,n·AD1=0, ∴(x,y,z)·(-1,1,0)=0,(x,y,z)·(-1,0,1)=0,化简,即x=y,x=z. 令x=1,得y=z=1. ∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1). 8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB. 解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z). 由BD∥AC,DC∥AB, 可得BD∥AC,DC∥AB, 因此 (x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0), 解得x=-1,y=1,z=2. 即点D的坐标为(-1,1,2). 能力达标 9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 答案A 解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 由c为平面α的法向量,得c·a=0,c·b=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0, 解得m=-1,n=2. 10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是( ) A.1,1,12 B.(1,2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 答案A 解析 PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1), 则x-2=0,-x+y=0, 解得x=2,y=2, ∴n=(2,2,1). 又1,1,12=12n,∴A正确. 11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是( ) A.(1,-4,2) B.14,-1,12 C.-14,1,-12 D.(0,-1,1) 答案ABC 解析因为PM=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的一个法向量,则必须满足n·a=0,n·PM=0,把选项代入验证,只有选项D不满足,故选ABC. 12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=( ) A.(0,-1,3) B.(0,1,3) C.(0,-1,-3) D.(0,1,-3) 答案A 解析设n=(0,y,z),由题意得3y+5z=12,4y+6z=14, 解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3). 13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是( ) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 答案ABC 解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),∵AC1与平面B1CD不垂直,∴D错误,ABC正确. 14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是 . 答案x-y+2z+1=0 解析由题意知AP·n=0,即x-y+2z+1=0. 15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y= . 答案193 解析根据题意可知a∥b,故存在实数λ,使a=λb,即(x,2,1)=λ(1,y,3),即x=λ,2=λy,1=3λ,解得λ=13,y=6,x=13,x+y=13+6=193. 16.四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量. 解∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以AD,AB,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2), ∴AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量. 设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z), 则n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0, ∴y=-12. 又n·DS=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0, ∴z=12. ∴n=1,-12,12即为平面SCD的法向量. 17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置. 解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意可设PA=a,DC=b,DD1=c, 则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0), 则M12a,b,0. 又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得PM=mDB+nDD1, 即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc), 即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,n∈R, 则点P的坐标为0,b2,-nc. 所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.
推荐访问:
