摘 要：介绍了教学团队在线性代数课程中开展“问题（Problem）—渗透（Infiltration）—构思（Conception）—应用（Applicat
-ion）”（PICP）方法的教学思路和体会。通过实践表明：此方法能助力于学生对大学学习方法的改进和教学内容的消化理解，提升抽象思辩能力和创新意识，为后续课程的学习奠定基础。
关键词：线性代数课程 教学方式 PICA方法 应用型高校
中图分类号：F240 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2023）07-154-04
一、引言
高校经管类专业的专业基础课系列中《线性代数》是本科一年级的主干课程之一，也是后续专业课程的重要理论基础。线性代数课程内容抽象程度高，理论体系复杂，一直是公认的教学难度较大的课程[1]。就一年级的新生而言，对大学的生活特点、学习方式和人文氛围原本就存在着亟待适应的过程，加之缺乏线性代数理论知识背后的物理、几何等其他应用学科背景，所以想要理解线性代数课程的基本理论、基本方法和掌握课程的应用手段都是不太现实的。而从教育者方面而言，传统课堂从出现开始，便一直沿用至今，尽管这些年有了不小的变化，但教学模式一直未有根本性的转变。一般教科书中的“定义—引理—证明—定理—证明—推论”模式对于大多数学生来说是糟糕的体验[2]。在高等教育教学改革日新月异的当下，国内应用型大学都在针对本校的办学定位和人才培养目标，对包括数学在内的专业基础课程的教学改革投入了大量精力和资源，但对于教学效果的影响，却鲜有显著成效。目前，传统的以课堂为主的教学模式还存在着以下一些突出的问题：第一，传统教学模式虽适合于大众教育，但很难根据学生的自身条件与能力、进行分类或个性化培养；
第二，传统教学模式忽略学生自主进行深层学习，注重的是浅层认知维度的学习，当学生真正进行思考、动手实践的时候，教师往往不习惯或无法为学生进行较好的引导与帮助；
第三，传统教学模式多数属于以教师为中心的填鸭式教学，学生是被动接受知识。这类的教学模式易让学生获得了知识，却可能失去了独立思考的空间以及创造性思维。因此，要实现教学质量的显著提升，需要结合学生的实际，更大程度地去更新现有教学方法及原始的教学模式，期待任课教师们都能清晰地认识到教学方法和教学手段改革的重要性及迫切性，努力地投入并笃定地参与教学改革的实践和探索，进而关于线性代数的教学研究一直是活跃的[3]。
这些年来，我们教学团队针对民办高校的特点以及学校新生学习基础的实际，秉承着“以教师为主导、以学生为主体、以能力为本位”的教学理念，充分认识到《线性代数》课程的教学作为公共基础课在高校教学整体范围的地位和作用，不断探索和把握本课程的“服务性”“工具性”和“应用性”特色，探究精细拿捏“够用为度”的衡量尺度的内沿和外延，立足于线性代数课程教学方法的探索和实践。在课堂教学过程中教学团队不断尝试着“问题（Problem）—渗透（Infiltration）—构思（Conception）—应用（Application）”（PICA）方法的教学实践并获得了一些成效和教学感悟。
二、课堂教学中PICA方法的解释、实践及案例分析
本文所叙述的“PICA”教学法，即为将问题看作是课堂教学的动力、起点和贯穿教学过程的主线，通过教学来生成问题，把教学过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，通过教师的课堂主导和努力促使学生通过主动学习而积极尝试去解决问题，从中构建以培养学生的独立思考、主动探研、自觉实践为基本价值取向的教学内容和教学方法体系[4]。
（一）问题（Problem）导向为课程设计的主线
本文所表达的“问题”，即为线性代数课程内的数学问题。线性代数课程的知识构架大多属纯数学理论范畴，而且它基本无法借助实验手段（指真正意义上的实验过程）通常只能仰仗学习者独立思考来完成整个学习过程。学习的过程就是学生不断认知、逐步促使知识的消化及吸纳的过程。而知识的获取是人们根据现有的理论来建构科学知识，强调科学知识是暂时的、主观的、建构性的，它会不断地被更新和推翻。从认知的视角观察，不同的人对同一个知识建构的认识通常是不尽相同的，但都必须经历“发现认知窗口”的路径——发现问题。从宏观的角度俯视线性代数课程全貌，可以毫不夸张地说此课程就是由成千上万个大小不一、表现形式各异、深浅程度不同的数学问题串联或并联而成的。有些问题是表象易见的，而有些问题往往会隐蔽在某些不易察觉的角落，它们为学生的学习过程埋下了困难的伏笔。所以，我们认为以问题为导向的教学是线性代数课程教学设计的主线和抓手。
1.教师提出问题及引导学生发现问题是课程教学的要务。由于高考指挥棒的驱使和众所周知的缘故，高中数学的教学往往更重视及强调学生解题能力的造就和提升，教师常常在不自觉中忽略了对课本内容基本结构的深层次探究和把握，淡化了学生对提出问题、分析问题和解决问题等基本能力的培养。而进入大学后，学生一旦接触到类似于线性代数这种理论性强，概念抽象的课程，往往会感觉不适。这就要求教师们在教学活动中除了责任心和耐心外，还需结合学生的实际注重教学方法的应变及运用。本教学团队在集体备课中运用了将线性代数课程各个章节实施课题引入——内容展开——理论推导——范例演绎——结论表述等程序化流程并将教学环节都以“问题”的形式铺开，在问题的设计中注重密切关注两个关键点：一是处理好知识点与问题之间的关系，盡量将诸多知识点分解为问题的公开和问题的解决两个部分——知识点始于问题的披露而终于问题的化解。这样的益处是通过潜移默化的教学，使学生们能将知识点与问题一一对应，便于记忆和理解，如图1。二是在编辑问题时不仅需紧贴教学内容设计出具有主导性、启发的问题——从教师对本章节教学构思的角度出发，结合教材、配合教案、开启学智，构建充分体现教师在教学中主导作用的问题，譬如富有“拨云见日”特性的主旨性问题；
具有“四两拨千斤”特征的核心性问题；
具有“指点迷津”特质的启发性问题等；
而且更需要通过各种教学手段诱发学生积极思考，发现并提出自己的问题，即使学生提出的问题可能比较幼稚甚至是“伪”问题，但这确是我们谋求学生在教学中发挥主体作用的切入口，是激发学生参与课堂教学的良好开端，更是难能可贵的教学实效。
2.问题与教学内容的契合关系。每个数学任课教师都明白，我们的课堂教学不能仅仅停留在讲清单一的基本概念，还需厘清相关内容之间的理论脉络，提炼出隐藏在知识点背后深层次的数学思想，这对学生数学素养的提高无疑是很有意义的[4]。因此，在问题的设计中，我们教学团队除了关注知识点与问题的联系，还精心探究同一章节内众多知识点前后的逻辑关系，通过诸多个问题的引导，凸显出知识群的基本理论脉络，进而促使单一章节知识领域中（知识）点——（知识）线——（知识）面的有机复合。这里特别强调的是，由点到线的形成关键是它们的“逻辑性”，即若干彼此富有逻辑内在联系的知识点才可能汇成一个知识群（线）。为了表达得更清晰，现以矩阵A的特征值与特征向量的教学内容为例。
设A为一个n阶方阵，于是我们用图2及图3表述由点到线的知识点思维逻辑框架图和相应的数学问题导图：
教学建议：为使学生在新教学模式中能迅速进入角色，根据课程要求和学生实际，教师应该在课前做足准备，譬如拟定内容对象制作问题、各类问题的表述方式，选编典型问题案例、预设学生的提问及应答等等。进入课堂教学后，教师还可进一步（例如通过多媒体和网络手段）充实问题案例的背景，使学生在问题案例的情景中产生感性认知。
一般而言，由于基础知识、数学功底、抽象思维能力和表达水平等不同因素的影响，学生会不时地“大胆”抛出一些伪问题，而且往往认为自己的结论是正确的。此时教师可以凭借教学经验和专业敏感捕捉这些极具典型案例意义的素材，指出问题自身的症结并加以校正；
同时在避免伤害学生自尊的前提下，从多视角揭示形成无效问题的专业知识背景和事物认知背景，使纠错的过程演变成激发学生加速提升自身分析能力、感知能力和解决问题能力的孵化器。
（二）数学思想的渗透（Infiltration）是课程教学的硬核
恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。公理化思想及方法发展源于亚里斯多德的完全三段论及欧几里得《几何原理》的问世[5]。事实上在基础教育阶段，学生们都曾接触过类似于“两点之间直线距离最短”这样的数学公理，但在大学的理工类课程里，层出不穷的公理化问题集中涌现在同一门课程里，恐怕只唯《线性代数》莫属了。譬如行列式的构造、矩阵及矩阵的运算、向量组的线性相关性、二次型标准化问题等等。最典型的当属向量空间系统：当人们分别研究了许多具体的空间结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，于是就用满足一定条件的公理集合来定义向量空间（俗称三大条八小条），形成一个向量空间的公理系统，并在这个系统上展开空间的理论并推导出一系列定理。我们很容易发现，这种能反映公理化思想的范例毫不夸张地说在教材中可以随手拈来。公理化思想和方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质差异，是现代科学发展的基本特点之一。鉴于本课程的这一特点以及新生还陷于探求和熟悉学习环境的特殊时期，无论是数学知识的特性还是学习方法的掌握，他们都会不太适应，故任课教师需尤其给予高度关注，如何才能使得学生尽早地适应课程知识构造特点，如何通过课堂教学促使学生逐渐领会及感知“公理化”的数学思想，是鉴别我们的课堂教学工作成效的标志之一。
教学建议：教学实践告诉我们，由于《线性代数》的概念众多而繁杂，学生往往会不知所措。因此，我们有责任告诫并引导学生：课程的学习不仅仅是搜集信息和概念，也不是一大堆事实及材料的简单积累，这些教学内容都有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系[6]。同时，教师的重要职责就是帮助他们抽丝剥茧，利用公理化思路以及恰当的方式方法建立起各个章节的教学内容逻辑体系。
（三）学习方法构思（Conception）的养成是课程教学的责任
1.数学思想方法的构思。数学思想方法是数学思想和数学方法的概况。如果说数学思想是长期实践而形成的对数学的理性认识，是解决数学问题的根本要素，那么数学方法就是解决数学问题的手段和工具。可以这样认为：数学思想方法彰显的是数学的灵魂，只有当明确和把握了数学思想方法，才算正真掌握了数学。因限于篇幅，本文只讨论数学方法构思的问题。笔者认为线性代数课程教学中，除了应注意促使学生了解和领会分类探究方法、化归与转化方法等一般性常见的学习技巧外，此文特别地结合线性代数课程的特点着力推荐用途更为广泛的“矩阵主导”的方法。
所谓的“矩阵主导”是指以矩阵为重要媒介和计算工具，介入及参与线性代数课程其他主要章节的学习内容过程的表现手法及方法。事实上，在整个课程学习过程中，我们很容易发现矩阵真可谓无处不在（除了行列式之章节），这是由于它总体处于课程的核心地位，并形成各章知识前后联系的纽带，就犹如一条红线从头至尾贯穿于课程始终。所以有专家戏称：抓住了矩阵，就套牢了线性代数课程的“牛鼻子”。因此，每一位任课教师都需要高度重视矩阵本身的结构和性质，以及矩阵在各个章节内置的特殊作用。矩阵的概念在其它章节的哪些具体内容中发挥作用，我们可以通过图4给予部分说明。
2.计算方法的构思。线性代数课程的教學除了基本概念外，更多地是涉及有关计算方法的问题。由于课程中对应的数学对象相异，相应的计算方法也不尽相同，这往往会给学生带来一些解题思路上的混淆和学习方法上的错位。为了避免上述现象，笔者认为任课教师可能需要关注以下两个教学环节。首先，在每类计算方法引入当初，需要“细嚼慢咽”，扎实学生的基本功，力争在学生脑海里打下深刻烙印；
其次，对庞杂的各种计算方法进行必要的细分对比，总结归纳（往往容易忽视这点）。本文利用图5给予提示。
事实上，一个教学单元内容结束后，有条理地进行一次计算方法的梳理和归纳，对学生消化知识，巩固知识都是一件事半功倍的工作，尤其在强化学生对诸多方法的理解、记忆、消化和“构思”，能起到很好的作用。
3.证明方法的构思。因受到教学课时及教学目标的限制及约束，线性代数课程中的定理证明、证明式习题等有关开放性主观问题的训练也许不会作为主要教学内容，但不可否认的是，数学证明不仅是数学发展的推動力之一，更是大学阶段学生理性智力开发的重要途径。尽管数学的证明过程技巧性极强，涉及的概念和知识点颇多，而且数学问题的证明讲解也因难以把握而容易造成学生悲观及厌学情绪的产生，但我们也绝不能放弃。在通常情况下，教师可以设计出多种教学手段和方法处理这个。本教学团队曾使用过如下方法，促进学生的解题构思：对数学问题给予必要的分析并摒弃错误的技术路线——构架问题证明的步骤——明示证明过程的细节和方法——给予必要的提醒和补充——设计类似的问题激励学生进行尝试等等。通过训练带来了不错的效果，实践证明只要工作到位，通常我们还是有信心唤醒学生的自信和接受挑战的勇气的。下面就以一道数学证明题的解题过程及图6呈现我们的教学设计。
数学问题：设η1，η2，L，η3是非齐次线性方程组AX=b的解，而k1，k2，L，ks是满足等式k1+k2+L+ks=1的一组实数，证明：η=k1η1+k2η2+L+ksηs为原线性方程组AX=b的解。
预备工作：简称原方程组AX=b为①；
解题目标：设法推出结果Aη=b；
必要提醒：非齐次线性方程组解的线性组合未必还是原方程组的解。
（四）数学知识的应用（Application）是课程教学的目标
如何培养和开发学生的数学思想，始终是数学教育工作者普遍关注和潜心探究的一项重要课题，就线性代数课程而言，学生能否利用所学的数学知识应用到实践中并解决数学问题，即会不会应用、应用得好不好，这既是检验学生掌握课程基本知识及数学思想的重要标准，也是数学教学所追求的根本目标。线性代数课程知识的应用问题主要是通过课堂例题、课间训练和课后习题来付诸实施，所以课堂习题训练及课后作业演练一直是任课教师高度重视的教学环节。建构主义“学习环境”理论认为，学习者的知识储备往往是借助他人的帮助，通过意义建构而逐步获得，我们团队在上述环节的实践中获得如下体验，教学活动中最好能关注下面几个问题：
1.建构学习情境。在教学设计中，创设有利于学生投入习题训练的情境是不能忽视的。比如习题课堂热烈的氛围、争先恐后展示训练结果的积极性、对不同解题方法踊跃提出自己主张的勇气，解题过程的讨论和兴趣能延伸至课后等等。
2.建构协作精神。学习协作精神的培养和建立既是班风的重要组成部分，也是习题演练课堂提升效率的恒久动力。这种精神可以产生于师生之间也可体现在学生群体之中，比如学习进程的自我反馈和学习成效的评价、学习资料的收集与分析和假设的提出与验证等，应该贯穿于整个学习活动过程之中。
3.建构交流习惯。师生之间和学生之间的学习交流事实上是协作过程的一种最基本的方式。为了便于开展交流，我们成立了多个班级学习小组，建立了班级微信学习群，制定了定时和不定期的学习交流制度。尤其是任课教师时常录制一些课外补充内容及习题训练短视频投放到群里交流共享，对推进学习进程和改进认知状况起到了很好的作用也深受学生的认同。
三、结语
近年来，教学团队在专业基础课《线性代数》教学过程中不断地汲取教训及总结经验，在摸索中探究出“问题（Problem）—渗透（Infiltration）—构思（Conception）—应用（Application）”（PICA）方法，收到了一定的成效和感悟，同时也意识到日后继续改良和提升的方向。上述PICA方法基本适应于线性代数课程的大部分概念和理论的教学，但也可结合具体实际进行必要的调整，比如其中四个取项的有机融合、先后次序的置换和选项的取舍等。值得提醒的是在采用本方法时任课教师需要做足课前的准备，除了正常的传统备课，兴许还要在教学案例、数学问题、思路导图等多方面进行前期设计和研制。当然，大学公共基础课通常还包括大学英语、政治思想理论课、大学语文、大学应用文写作，体育和艺术领域的诸多课程，希望本文能从课程教法的角度为上述课程教学改革提供些许参考或借鉴。我们认为无论课程的构架和内涵如何不同，只要秉承进取之心，不断探索教学规律，总能挖掘和开创出符合课程规律的教学改革之果。教学方法和教学手段的改革是永无止境的，但始终会遵循众所皆知的客观规律：一份耕耘，一份收获。
[基金项目：2018年广西外国语重点课程（高等数学）及数学应用与数量经济教学团队建设校级项目。]
参考文献：
[1] J.M.Day， D.Kalman.Teaching Linear Algebra：
What are theQuestions[EB/OL].Availableat：http//wwwl.american.edu/academic.depts/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/questions.pdf.
[2] F.Uhlig.The Role of Proof in Comprehending and Teaching Elementary Linear Algebra [J].Educational Studies in Mathematics，2002，50（03）：335-346.
[3] J.L.Dorier et al.On a research programmer concerning the teaching and learning of linear algebra in the first-year of a French science University [J].INT.J.MATH.EDUC. SCI. TECHNOL，2000，31（01）：27-35.
[4] 任北上，刘立明，李碧荣.问题型教学模式在高等代数教学中的探索[J].数学教育学报，2013（02）：95-98.
[5] 王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2010．
[6] 邓勇，吴宏.线性代数课程教学的探索与实践[J].数学教育学报，2012，21（02）：74-77．
（作者单位：广西外国语学院 广西南宁 530222）
[作者简介：韦玉球，副教授，研究生学历，研究方向：数学教育及师培。]
（责编：贾伟）
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