李明蔚,吕 艳
(南京理工大学 数学与统计学院,南京 210094)
Lévy过程表示一类样本路径右连续的随机运动,包含布朗运动、Poisson过程等一系列重要随机过程,因其增量独立且平稳以及其良好的应用前景,一类由Lévy过程驱使的随机微分方程得到广泛关注.目前对于驱动噪声为布朗运动的随机微分方程,其线性及非线性情形下的参数估计问题均已取得一系列研究成果[1-5].对于其他类型的Lévy过程,Hu等[6]将轨迹拟合方法和最小二乘技术相结合,研究了连续时间观测下由α平稳Lévy运动驱使的Ornstein-Uhlenbeck过程的参数估计问题; Masuda[7]提出了由对称Lévy过程驱使的Ornstein-Uhlenbeck过程在离散观测点下的一种自加权最小绝对偏差估计量; Long等[8]提出了通过设置对比函数建立适用于普遍Lévy过程的最小二乘估计量方法,该方法虽允许漂移函数非线性,但要满足Lipschitz条件; Mai[9]削弱了文献[8]中漂移项的条件,提出了在局部Lipschitz条件下随机微分方程的似然函数,并利用指数族的方法对Ornstein-Uhlenbeck过程、平方根过程给出其强一致及在Hajek-LeCam意义上渐近有效的估计量.
基于此,本文考虑漂移项含有高次幂的多项式型非线性随机微分方程的参数估计问题,并对所提出的极大似然估计量的渐近性质进行讨论.最后,通过模拟样本轨道验证方法的有效性和估计量的性质.
设(Ω,F,(Ft)t≥0,P)是一个概率空间,L是一个Lévy过程,其特征值为(b,σ2,μ),根据Lévy-It分解可知,
其中Bt是一个标准Wiener过程,N是+×(d-{0})上的一个独立Poisson随机测度,是一个鞅测度,且设m为取值于+的常数,σ2>0,考虑随机微分方程
(1)
取Cn=|θ+3n2|,Dn=||θ|+n2|,使得对所有的t,当|x|,|y|≤n时,有
|θx-x3-θy+y3|=|θ(x-y)+(y-x)(x2+xy+y2)|≤Cn|x-y|,
|θx-x3|=|x(θ-x3)|≤||θ|+n2||x|≤Dn(1+|x|).
(2)
其中Xc是X在P0下的连续鞅部分.对似然函数取对数并求导,可得
因此θ的极大似然估计量为
(3)
证明: 首先讨论在P0下Xc的表示.由Lévy-It分解可知,其中Wt是一个标准Wiener过程,
因此可从X中分解出一个局部P0鞅Mt,
所以在P0下,Xc=mσW.
所以可将极大似然估计表示为真实参数θ与一个由Pθ-Wiener过程驱动的偏差之和,即
证明: 记对数似然函数为RT(θ),对任意的|λ|≥0,有
证明: 将对数似然函数对θ求导得
(5)
其中ΔiX=Xti+1-Xti,Δi=ti+1-ti,vn>0.
证明: 不失一般性,假设σ=1,则
(6)
其次考虑不等式(6)右边第二项,由Jensen不等式可知,
所以有
由Markov不等式得
从而结论得证.
而
对式(1)两边在[ti,ti+1]上做积分,可得ΔiX=ΔiD+mΔiL,又因为Lt=Wt+Jt,所以ΔiX=ΔiD+mΔiW+mΔiJ.由引理1得
综上可知,
从而
引理3若假设(H1)成立,则当n→∞时,有
(7)
证明: 由引理2知,
只有在该时间间隔内发生跳跃,式(7)右边的增量差值才不为0,即
由于ΔiXc=mΔiW+ΔiD,因此有
再利用Hölder不等式得
综上结论得证.
证明: 推导可得
由引理3知,在Pθ下,当n→∞时,有
证明: 由引理3知,在Pθ下,当n→∞时,有
下面对有限活跃情形下随机微分方程进行仿真模拟.取初值x0=1,对方程(1)进行Euler离散化可得:
表1 不同真实值下的均值及识别到的跳跃数结果
图的误差分布直方图(A)和的正态QQ图(B)Fig.1 Error distribution histogram of (B)
综上所述,本文在漂移项为局部Lipschitz以及驱动噪声为Lévy过程的条件下,讨论了非线性随机微分方程(1)的参数估计,通过设置阈值的方法过滤过程中的跳跃,从而近似连续鞅部分,分别在连续时间观测和离散高频观测下给出了参数θ的估计量及其渐近性质.最后,将估计量代入数值模拟实验中,实验结果验证了本文方法的有效性,该方法有助于非线性随机系统的拓展与应用.
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