周 鑫,孙晓鹏,肖定邦,吴学忠
（国防科技大学智能科学学院,长沙 410073）
耦合动力学是当前微纳机电系统的研究前沿,其在新型微纳传感器研制、现有微纳器件性能调控方面具有重要的价值。以往的研究通常关注耦合系统的本征特性,即系统在激励停止之后本身在耦合条件下的固有输出。主要研究方法是在时域衰减信号中提取有用信息,典型的研究是在耦合本征态中研究经典绝热或非绝热相变[1]、相干调控[2-3]、动力学操控[4-5]、几何相位以及拓扑特性[6-7]等。耦合系统对外界激励的响应中也蕴含了丰富而有趣的信息,然而当前人们对耦合响应的研究仅限于在幅频响应中的反交叉效应[5],对相频响应的认识仍然不够。另外,在考虑幅值和相位的复平面内,不动点对应的状态被预测为将会存在着与耗散相关的对称性破缺或经典相变,然而该现象目前尚未被观测到。
本文以一种典型的微机电系统为对象,重点研究了该耦合系统中与相位相关的稳态响应。该微机电系统通过哥氏效应来实现近似简并模态之间的可控耦合,同时通过静电负刚度效应实现固有频率以及简并条件的调控。哥氏耦合是一种特殊的声学耦合特性,它是固体振动陀螺的工作基础。如果转换到行波系,哥氏耦合等效为旋转Doppler 效应[8],或者是一种Zeeman 效应在声学领域的等效[9],因为它通常可以引起本征频率的偏移。在本研究中,通过转速来调节哥氏耦合强度,可以在一种相位锁定的稳态中观测到自发对称性破缺现象以及对应的二阶相变。发生相变的临界点,正是强弱耦合的分界点。
1.1 嵌套环式微系统结构及模态特性
本文的研究对象为如图1所示的微机电嵌套环式谐振器,图1（a）为结构显微镜照片,图1（b） 和图1（c）分别为谐振结构示意和结构剖面图。根据线弹性理论,该谐振器中会存在一系列本征声学模态,对应的本征值给出了一系列固有频率。本文重点关注如图1（d）所示的波数（n）为2 的简并模态,可将图1（d） 中左侧的模态定义为主动模态,该模态受到一个交变驱动力,图中的X轴为主动模态的波腹轴,其波腹位移定义为x;右侧的模态定义为被动模态,该模态上没有外界施加的驱动力,图中的Y轴为被动模态的波腹轴,其波腹位移定义为y。
图1 微机电嵌套环式谐振器示意图Fig.1 Diagram of MEMS nested ring resonator
1.2 嵌套环式微系统耦合动力学特性
如图1（b）所示,当在谐振器上施加面外角速度Ω时,二阶简并模态之间会因为哥氏效应实现耦合,一个模态的动力学方程中会出现另一个模态的运动速率项。当不考虑谐振结构的结构误差时,该耦合系统的动力学方程可表示为[10]
式（1）中,γ1和γ2分别为两模态的阻尼率,ω1和ω2分别为两模态的谐振角频率,F和ωd分别为沿X轴方向施加驱动力的幅值和角频率,k为哥氏耦合系数。振动陀螺是一个经典的二能级（Two-level System）系统,旋波近似方法[11]非常适合于解决类似的耦合二能级动力学方程组,该方法将动力学方程放在以频率为-ωd旋转的框架中,即方程左右两边同时乘以e-iωdt,然后忽略动力学方程中的快速交变项（频率绝对值不小于2ωd）来得到近似解。首先,假设式（1）的解为如下形式
式（2）中,A和B为复数振幅,c.c.指代前面的共轭项。当忽略复数振幅对时间的二阶导数时,可以推导出近似解x和y对时间的一阶和二阶导数
将式（2）、式（3）代入式（1）中,在旋转框架中,即方程左右两边同时乘以e-iωdt,并消除两边的快速交变项,可得近似解为
下面分析系统的稳态频率响应: 在稳态情况下,所有的状态变量几乎没有变化,此时==0,将该稳态条件带入式（4）中,可以得到复数振幅的稳态解为
式（5）中,
由式（2）可以得到
主动轴与被动轴的相位响应为
在本文研究中,通过对主动轴的相位锁定来保证其始终处在谐振状态,被动轴位移信号通过主动轴的位移信号来解调。在不考虑各种制造误差影响的情况下,研究主动轴的相位锁定状态,即通过调节驱动频率来保证主动轴的相位ϕ1始终锁定在-90°。由式（13）可知,此时a1c+a2d=0,代入式（6）～式（10）中的a1、a2、c和d,可得
式（14）中,
这是一个关于ω2d的一元三次方程,一般情况下并不能通过因式分解来降幂。本文采用卡当公式法求ω2d的一般解,首先可将式（14） 化为如下形式
式（18）的解为
式（21）中,实数解就决定了相位锁定后驱动频率随外界角速度输入的变化轨迹,由Xi（i=1,2,3）可以求得
在模态匹配时,不妨令ω0=ω1=ω2,式（14）可以通过因式分解化简为
此时,方程的解为
式（23） 中,判别式Δ=（2ω20-γ22+4k2Ω2）2-4ω40。当Δ>0 即时,解ω2d2和ω2d3为实数解,否则是没有实际意义的复数解。因此,当时,只有ωd1能够使得主动轴相位保持在-90°;而当时,ωd1、ωd2和ωd3都能使主动轴相位保持在-90°,不过在ωd1处会出现反谐振（Antiresonance）,因此谐振器驱动频率只会锁定在ωd2和ωd3中的一个。
2.1 耦合系统模态匹配时结果分析
对于一个模态匹配谐振器的开环工作状态,当主动模态和被动模态频率均为3942.35Hz,即频差为零,阻尼率γ1和γ2均取0.74,哥氏耦合系数k为0.85,则主动轴的输出响应受角速度输入的影响如图2所示。
图2（a）和图2（b）分别为不同转速下谐振器主动轴方向幅频响应与相频响应的仿真结果,其中的黑色虚线是由式（23） 得到的主动轴相位锁定在-90°后可能的轨线。当外界角速度由0 逐渐增大但小于临界值时,驱动频率保持定值ωd=ω1=ω2。当角速度进一步增大并超过时,谐振频率将出现“草叉” 分叉,形成三个分支。由于中间支的原谐振频率（图中白色虚线部分）处会出现反谐振,故理论上谐振器的驱动频率会锁定在两侧的某一个分支上,驱动频率也将随着外界转速的增大而减小（左分支） 或增大（右分支）,产生自发性对称破缺。
图2（c）和图2（d）分别为不同转速下谐振器主动轴方向幅频响应与相频响应的实验结果,利用静电负刚度效应可以实现两个模态的频率匹配。可以看出在扫频过程中,随着转速增大,谐振器的谐振频率在临界值处出现分叉,中间支反谐振状态下虽然达到了相位锁定条件,但其幅值并未响应,两侧分支的变化轨迹与仿真结果一致。
图2 模态完全匹配时谐振器主动轴响应图Fig.2 Response diagram of the resonator on the driving shaft during modal matching
图3所示为另一个模态匹配的微谐振器中观测到的锁相频率在不同外界转速下的变化规律。图中的实线为理论变化结果,在外界转速低于临界值时锁相频率保持不变（橙线部分）,转速达到临界值后锁相频率将以状态1 逐渐增大或以状态2 逐渐减小。图中的绿色数据点为实验测得锁相频率,当转速达到临界值后,耦合系统的某种对称性被破坏,谐振频率沿着状态1 中的轨迹而逐渐增大,即出现了自发性对称破缺。对应于耦合系统本身,该现象预示着在临界值处的某种振动状态的变化（二阶相变）,然而该相变的序参量观测仍然有待进一步研究。
图3 模态匹配谐振器在不同转速下锁相频率的变化规律Fig.3 Variation of phase-locked frequency for modal matching resonator at different rotating rates
2.2 耦合系统模态不匹配时结果分析
进一步考虑谐振器两模态间存在一定频差（大小等于其带宽Bw=0.12Hz）的情况,保持被动模态谐振频率ω2=3942.35Hz,将主动模态谐振频率调节为ω1=3942.23Hz,使得ω1-ω2=-Bw。通过代入求解式（18）可以得到不同转速下谐振器主动轴方向幅频响应与相频响应的仿真结果,如图4（a）和图4（b）所示,主动轴相位锁定在-90°时,锁相频率仍将产生分支,但此时的分岔失去平衡。此时,虽然图4（a）中白色虚线轨迹l1仍处于反谐振状态,实际工作中不被锁定,轨迹l2上的相位虽然也能达到-90°,但该部分与谐振器初始状态（角速度输入为0 时的状态）脱离,也不被锁定,实际中驱动频率按照图中黑色虚线的轨迹逐渐减小,此时将不再产生如图3所示的对称性破缺现象。图4（c）和图4（d）分别为不同转速下谐振器主动轴方向幅频响应与相频响应的实验结果,与仿真结论相符。
相应地,当调整谐振器主动模态谐振频率ω1=3942.35Hz、被动模态谐振频率ω2=3942.23Hz即ω1-ω2=Bw时,不同转速下谐振器主动轴方向幅频响应与相频响应的仿真结果如图5（a）和图5（b）所示,对应的实验测试结果如图5（c）和图5（d）所示。可以看出,此时的驱动频率变化轨迹沿图中黑色虚线的轨迹逐渐增大,与图4中所示ω1-ω2=-Bw时的轨迹相反。可见在开环模式下,谐振器的模态匹配是锁相频率出现自发对称破缺的必要条件。
图4 存在小频差（ω1-ω2=-Bw）时谐振器主动轴响应图Fig.4 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=-Bw
图5 存在小频差（ω1-ω2=Bw）时谐振器主动轴响应图Fig.5 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=Bw
本文通过建立哥氏耦合系统的动力学解析模型,仿真分析并实验验证了通过改变外界转速进而调控哥氏耦合强度,可以实现谐振器在模态匹配时锁相频率的自发对称破缺,其发生的临界点也是系统耦合强弱的分界点,与谐振器自身结构（阻尼率和哥氏耦合系数等）有关。本文研究预示着在该系统中可能存在一阶相变（非连续相变）、奇异点（Singularity）效应以及突变（Catastrophe）效应,这些现象对微机电谐振器性能及工作模式等的潜在影响值得后续进行更深入的探讨。
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