田 岩,石宇彤
(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)
符号模式矩阵是组合矩阵论中一个重要的研究对象,它在经济学、动力学领域有重要应用.Samuelson[1]首次提出了符号模式矩阵的概念;Eschenbach[2]引入并定义了符号模式矩阵允许或要求某种性质.符号非奇异问题与符号模式对角化、要求不同特征值等问题密切相关;Pea[3]研究了非奇异的符号正则矩阵,非奇异与矩阵可逆性问题密切相关;Choi等[4]研究了可逆矩阵,给出对于任意可逆n阶复矩阵A,存在可对角化的可逆矩阵D,使得矩阵AD具有不同特征值;Das[5]通过研究符号非奇异模式,刻画了树符号模式矩阵要求对角化;田岩和赵心茹[6]刻画了3阶Hankel符号模式矩阵允许代数正和要求代数正.
Hankel矩阵非常重要,在数字信号处理、数值计算、系统控制、电讯技术等领域均有广泛的应用.本文基于Hankel矩阵的结构特点,引入并研究Hankel符号模式.利用组合矩阵论和图论的理论知识,研究3阶Hankel符号模式是否符号非奇异,给出其充分必要条件.
下面给出本文将用到的概念和主要结论.
定义1[7]符号模式矩阵是指元素取值于集合{+,-,0}的矩阵,简称符号模式.对于一个n阶符号模式A,所有与A具有相同符号的实矩阵构成的集合称为A的等价类,记为Q(A).
定义2[7]设A是符号模式,若Q(A)中每个实矩阵都是非奇异矩阵,即可逆矩阵,则称A符号非奇异.
定义3[7]设A=(aij)是一个n阶符号模式矩阵或者实矩阵.形如γ=ai1i2ai2i3…aiki1的非零元素的一个形式乘积(即有顺序地放在一起)称为长度为k的简单圈,其中这些下标i1,i2,…,ik互不相同.
本文研究的矩阵都是实方阵.aij表示符号模式A的第i行j列元素.
定理1[8]设A是符号模式,B∈Q(A),则A符号非奇异当且仅当B的行列式的标准展开式中至少有一项非零,并且所有非零项的符号都相同.
定理2[9]设符号模式A的对角元素都是“-”,则A符号非奇异当且仅当A的每个简单圈都是负的.
定理3[10]n(n≥3)阶符号非奇异模式矩阵至少含有(n-1)(n-2)/2个零元素.
由行列式的定义易知:
定理4设A是符号模式,若A符号非奇异,则符号模式-A,AT,PAPT(P为置换矩阵)都是符号非奇异.
定义4[6]设A是符号模式,若A具有形式
其中ai∈{+,-,0},i=1,2,3,…,2n-1,则A称为Hankel符号模式.
定理5设A是3阶Hankel符号模式,则A是符号非奇异模式当且仅当A或-A置换相似于下列符号模式:
证明充分性易证,下面考虑必要性.
设A是Hankel符号模式,则a12,a21符号相同,a13,a22,a31符号相同,a23,a32符号相同.根据A的对角线元素分情况讨论.设A是符号非奇异模式,则:
(1)当A或-A的对角线元素符号都相同时,根据定理4,不妨设A的对角线元素全为“-”,即
其中*∈{+,-,0}.由定理2可知,D(A)中a13a31<0,这与A是Hankel符号模式矛盾,所以A不是符号非奇异模式.
(2)当A或-A的对角线全为0时,设
则对于Q(A)中任意矩阵B,都有detB=0,故A不是符号非奇异模式.
(3)当A或-A的对角线元素含有两个0时,则A或-A置换相似于下列符号模式:
①设
则Q(A)中任取实矩阵B=(bij),detB=-b11b23b32≠0.由b11>0可知b23b32≠0,
那么A或-A置换相似于以下符号模式:
②设
则Q(A)中任取实矩阵B=(bij),
detB=b13b21b32+b31b12b23-b31b22b13≠0.
由于-b13b22b31<0,由定理1可知,b13b21b32≤0,b31b12b23≤0.因为b13>0,b31>0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,故A或-A置换相似于:
(4)当A或-A的对角线元素含有一个0时,则A或-A置换相似于下列符号模式:
①设
则Q(A)中任取实矩阵B=(bij),
detB=-b11b23b32-b33b21b12≠0,
由定理1可知,b11b23b32与b33b21b12符号相同或不同时为0,因为b11>0,b33>0,b23b32≥0,b21b12≥0,所以A或-A置换相似于:
②设
则Q(A)中任取实矩阵B=(bij),
detB=b21b32b13+b31b12b23-b31b22b13-b11b23b32≠0.
因为b13>0,b22>0,b31>0,所以-b13b22b31<0.由定理1可知,b21b32b13≤0,b31b12b23≤0,-b11b23b32≤0.因为b13>0,b31>0,b11>0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,b23b32≥0,故A或-A置换相似于:
detB=b13b21b32+b31b12b23-b13b22b31-b11b23b32≠0.
因为b13<0,b22<0,b31<0,所以-b13b22b31>0.因为b11>0,b23b32≥0,所以-b11b23b32≤0.根据定理1,b13b21b32≥0,b31b12b23≥0.因为b13<0,b31<0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,故A或-A置换相似于:
(5)当对角线元素不含0且对角线元素不完全相同时,则A或-A置换相似于下列符号模式:
由定理3可知,A中至少含有1个0,所以Q(A)中任取矩阵B=(bij),都有b12b23=0.
①设
若a12=a21=0,则b12=b21=0,
detB=b11b22b33-b13b22b31-b11b23b32≠0.
显然b11b22b33>0,-b13b22b31≥0,根据定理1,-b11b23b32≥0.又b11>0,b23b32≥0,所以b23=b32=0,故A或-A置换相似于
若a23=a32=0,则b23=b32=0,detB=b11b22b33-b13b22b31-b21b12b33≠0.显然b11b22b33>0,-b13b22b31>0,根据定理1,-b21b12b33≥0,所以b21b12≥0,故A或-A置换相似于:
②设
若a12=a21=0,则Q(A)中存在实矩阵
使得detB=0,故A不是符号非奇异模式.
基于Hankel符号模式的结构特点,通过讨论实矩阵是否非奇异,研究了3阶Hankel符号模式非奇异问题,刻画了符号非奇异的3阶Hankel符号模式.本文利用了图论和组合矩阵论的知识,这种研究问题的方法对于其他符号模式符号非奇异问题的研究提供了一点新思路,具有借鉴意义.
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