杨晓曼,周 鑫,2
(1.伊犁师范大学数学与统计学院,新疆 伊宁 835000;2.伊犁师范大学应用数学研究所,新疆 伊宁 835000)
1965年,ZADEH[1]引入了模糊集的概念,标志着模糊数学的诞生.1986年,NANDA[2]给出了模糊域以及模糊线性空间的定义.1989年,BISWAS[3]重新给出了由NANDA定义的模糊域以及模糊线性空间,这种定义更为合理.1990至1991年,NANDA[4]讨论了模糊域上的模糊代数的概念,并给出了模糊理想的概念.NANDA[5]进一步引入了任意值域上的模糊线性空间中的一些概念,如凸模糊集等.1993年,GU等[6]指出NANDA对模糊域的定义是不合理的,因此模糊域上模糊代数的定义也是不合理的;且重新定义了模糊域和模糊代数;在没有任何限制的情况下,证明了模糊代数的同态像是模糊代数.1996年,党发宁[7]更深入地探讨了模糊代数以及模糊理想的性质,定义了模糊商代数,并证明了代数Y关于代数Z的同态核f-1[Oz]的模糊商代数与代数Z同构等性质.2002年,孙绍权等[8]定义了模糊商代数,给出了模糊代数的同态基本定理.同年,姚炳学等[9]重新定义了模糊域上的模糊商代数,研究了模糊域上的模糊代数与模糊理想的性质,并给出了模糊商代数的同构定理.2019年,魏晓伟等[10]引入了模糊集上模糊泛代数的概念,研究了商代数、同余关系等概念.2021年,ADDIS[11]引入了L-值模糊代数的概念,并讨论了模糊陪集的结构.
本文基于以上模糊代数的研究内容,首先,给出了模糊结合代数的概念,在此基础上定义了模糊结合代数之间的模糊同态、模糊单同态、模糊满同态以及模糊同构.其次,证明了模糊同态的复合仍然是模糊同态.然后,引出了模糊结合代数中模糊理想的概念,利用模糊理想构造了模糊结合代数的商结构.最后,在上述定义的基础上证明了模糊结合代数的同态定理.
定义1[12]设(L,≤)为偏序集,若任意a,b∈L,均存在最小上界sup{a,b}和最大下界inf{a,b},则称偏序集(L,≤)为格,简记为L.
在L中定义∨和∧两种运算,对于任意a,b∈L,a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b}.若格L的每一个子集S均有最小上界和最大下界,则称L为完备格.
定义2[13]设X是一个非空集合,L为完备格,映射χ:X→L称为集合X的模糊子集,其中χ称为模糊子集的隶属函数.对于任意x∈X,χ(x)称为x对χ的隶属度.用FL(X)={χ|χ:X→L}表示X上所有隶属函数的族.
本文中代数均指具有单位元e的结合代数.
定义3 设A是数域F上的一个代数,L为完备格.若χA∈FL(A),任意a1,a2∈A,k∈F,满足:
(1)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1+a2),
(2)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1·a2),
(3)χA(a1)≤χA(k·a1),
(4)χA(e)=1.
则称χA是A上的模糊结合代数,简称模糊代数,记为(A,χA).
定义4 设(A,χA),(B,χB)为模糊代数,α:A→B为A到B的同态.若任意a∈A,满足:
χA(a)≤χB(α(a)),
则称映射α:(A,χA)→(B,χB)为(A,χA)到(B,χB)的模糊同态.
若模糊同态α为单射,则称α:(A,χA)→(B,χB)为(A,χA)到(B,χB)的模糊单同态.
若模糊同态α为满射,则称α:(A,χA)→(B,χB)为(A,χA)到(B,χB)的模糊满同态.
若模糊同态α为双射,则称α:(A,χA)→(B,χB)为(A,χA)到(B,χB)的模糊同构.
注1 (1)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)为模糊同态,则χB(α(a))=∨χA(α-1(α(a))).
(2)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)为模糊同构,则χB(α(a))=χA(a).
定理1设(A,χA),(B,χB),(C,χC)为模糊代数,α:(A,χA)→(B,χB)为(A,χA)到(B,χB)的模糊同态,β:(B,χB)→(C,χC)为(B,χB)到(C,χC)的模糊同态,则复合β∘α:(A,χA)→(C,χC)为(A,χA)到(C,χC)的模糊同态.
证明 设a∈A,α(a)=b,β(b)=c,则(β∘α)(a)=c.
由模糊同态的定义可知,χA(a)≤χB(α(a)),χB(b)≤χC(β(b)),则有:
χA(a)≤χB(α(a))=χB(b)≤χC(β(b))=χC(c)=χC((β∘α)(a)),
即χA(a)≤χC((β∘α)(a)),故复合β∘α为(A,χA)到(C,χC)的模糊同态.
定义5 设(A,χA),(B,χB)为模糊代数,α,β为(A,χA)到(B,χB)的模糊同态.若任意a∈A,α(a)=β(a)均成立,则称模糊同态α与β相等,记为α=β.
定义6 设A是代数,R为A的子代数,L为完备格,χR∶R→L.
(1)若a∈A,b∈R,有χR(a·b)≥χR(b),则称(R,χR)是(A,χA)的模糊左理想;
(2)若a∈R,b∈A,有χR(a·b)≥χR(a),则称(R,χR)是(A,χA)的模糊右理想;
(3)若a,b∈R,有χR(a·b)≥χR(a)∨χR(b),则称(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.
定义7 设(A,χA)为模糊代数,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.任意a,b∈A,k∈F,在A/R上可以定义运算:
(1)加法:(a·R)+(b·R)=(a+b)·R;
(2)乘法:(a·R)·(b·R)=(a·b)·R;
(3)数乘:k(a·R)=(ka)·R.
定理2设(A,χA)为模糊代数且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,定义:
则(A/R,χA/R)为模糊代数,称(A/R,χA/R)为(A,χA)的模糊商代数.
证明 先验证乘法运算下结论是否成立.
(1)假设a1,a2∈R,则
χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,
故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).
(2)假设a1∈R,a2∉R,则
由于χA/R(a1·R)=1,则
χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)=χA/R(a2·R),
故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).
因此,在乘法运算下结论成立.加法运算、数乘运算的证明同理可得,且χA/R(e)=1.
综上所述,(A/R,χA/R)为模糊代数.
定理3设(A,χA)为模糊代数且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)为(A,χA)的模糊商代数.对于任意a′∈A,定义映射:
ν∶(A,χA)→(A/R,χA/R),ν(a′)=a′·R,
则ν为模糊同态.
证明 先验证乘法运算下结论是否成立.
(1)假设a1,a2∈R,则
χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,
故χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).
(2)假设a1∈R,a2∉R,则
即χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).
因此,在乘法运算下结论成立.加法运算、数乘运算的证明同理可得,零元运算的结论显然成立.
综上所述,ν为模糊同态.
定理4设(A,χA)为模糊代数且存在a∈A,使得χA(a)=1,α是(A,χA)到(B,χB)的模糊满同态,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)为(A,χA)的模糊商代数.其中,
当a′∈R时,χB(α(a′))=1.ν:(A,χA)→(A/R,χA/R)为模糊同态,且对于任意a′∈A,有ν(a′)=a′·R,则存在唯一的模糊同态:
β∶(A/R,χA/R)→(B,χB),
使得图1交换.
图1 交换图
证明 (i)存在性.对于任意a′∈A,令映射β:(A/R,χA/R)→(B,χB),β(a′·R)=α(a′),则β是A/R到B的同态,且β∘ν(a′)=β(a′·R)=α(a′),即β∘ν=α.
下证χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).
先验证乘法运算下结论是否成立.
(1)假设a1,a2∈R,则
χB(β((a1·a2)·R))=χB(α(a1·a2))=1=χA/R((a1·a2)·R).
(2)假设a1∈R,a2∉R,则
任意a1,a2∈A,因为
χB(α(a1·a2))=∨χA(α-1(α(a1·a2)))≥χA(a1)∧χA(a2),
故
χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).
因此,在乘法运算下结论成立.加法运算、数乘运算的证明同理可得,零元运算的结论显然成立.
(ii)唯一性.假设存在同态β′:A/R→B同样满足上述条件,即对于任意a′∈A,有β′∘ν(a′)=α(a′),可推出对于任意a′∈A,有β′∘ν(a′)=β∘ν(a′)均成立,又由于ν为满同态,则可推出β′=β.由经典交换图(图2)中β的唯一性可知,交换图(图1)中的β唯一存在.
图2 经典交换图
本文主要研究了模糊结合代数的理想以及商等相关性质,证明了模糊结合代数的同态定理.文中的定理、结论有助于更好地理解其他具体的模糊代数结构,并且为研究其他模糊代数结构提供了理论支撑.
猜你喜欢 下结论同态同构 局限辽河(2023年9期)2023-10-09巧用同构法解决压轴题中学生数理化(高中版.高二数学)(2022年6期)2022-06-30指对同构法巧妙处理导数题中学生数理化(高中版.高二数学)(2021年2期)2021-03-19同构式——解决ex、ln x混合型试题最高效的工具中学生数理化(高中版.高二数学)(2021年2期)2021-03-19高等代数教学中关于同构的注记高师理科学刊(2020年2期)2020-11-26关于半模同态的分解*吉首大学学报（自然科学版）(2020年2期)2020-09-14拉回和推出的若干注记五邑大学学报（自然科学版）(2020年1期)2020-06-17一种基于LWE的同态加密方案信息安全研究(2016年3期)2016-12-01HES:一种更小公钥的同态加密算法衡阳师范学院学报(2016年3期)2016-07-10道听途说小学阅读指南·低年级版(2016年4期)2016-05-14
