朱怡颖，索洪敏*，安育成, 张 鹏
(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025；
2.贵州工程应用技术学院 理学院,贵州 毕节 551700；
3.遵义师范学院 数学学院，贵州 遵义 563006)
文中我们在Heisenberg 群上考虑具有奇异和临界增长的Schrödinger-Possion 系统
Loiudice在文献[2]中考虑了如下的次椭圆方程
最近, Heisenberg 群上的微分方程的研究已经引起了许多学者的关注. 这是因为Heisenberg 群在力学,复变量,调和分析和偏微分方程中扮演了一个重要的角色,参见文献[7-10,13,14].
特别地, 在文献[1]中,An 等人在Heisenberg 群上研究了以下的Schrödinger-Possion 型系统
值得一提的是,在文献[21]中An 考虑了下列的奇异次椭圆方程
本节介绍Heisenberg 群的相关知识, 更完整的叙述可以参见文献[15,16].记是拓扑维度为3 的Heisenberg Lie 群,即以R3作为背景流形的Lie 群,赋予如下运算法则
这里
其中
这里
左不变向量场的Lie 代数由以下向量场生成
在H1上的左不变距离dH定义如下
由文献[22]知函数
是方程
的正解.设r0是一个固定的正常数,使得,设
令
在证明定理1.1 之前,我们先回顾以下引理.
引理2.1[1]对每一个,存在唯一解满足
且有
(5)设是函数并且对任意的
设
令
并且
由上可得
设,有
使得
并且
从(2.4)和(2.5)可得
另一方面,通过(2.6),有
引理2.3 泛函I 在N 中是强制的并且是有下界的.
使得
证明:证明的方法与文献[20]的引理3.1 相似,下面给出证明.
成立.这里
由(2.8)式,有
并且
通过(2.14)式和Brézis-Lieb 引理可以得出
由Sobolev 不等式,有
一方面,通过(2.16)式和Young 不等式,得出
另一方面, 通过Brézis-Lieb 引理和(2.16)式, 有下式
由Fatou 引理,有
此外
系统1.1 存在第二个正解
证明：由[1]可知
可得
这里
由[1],有
设
有
使得
因此
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