■陈渭渭
分类讨论思想是高考数学中经常用到的基本数学思想方法之一,渗透于数学问题的方方面面。利用分类讨论思想解决问题的关键是找准切入目标,合理分类,实现问题的圆满解决。
例1 (2023 年新高考卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( )。
分析:从两集合间的包含关系入手,分析集合间元素的关系,构建相应的方程,结合方程所对应的参数值进行分类讨论求解。
解:由A⊆B,结合两集合之间元素的关系得a-2=0或2a-2=0。
当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足条件A⊆B,舍去;
当2a-2=0 时,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足条件A⊆B。
综上可得,a=1。应选B。
题中两集合之间的包含关系就是分类讨论解决问题的基础条件,要注意问题的切入视角与应用方式,不要出现重复或遗漏。
例2 关于x的不等式mx2-mx+m+1>0 恒成立,则实数m的取值范围为( )。
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
分析:利用不等式恒成立,对二次项系数进行分类讨论,借助二次函数的图像与性质进行求解。
解:关于x的不等式mx2-mx+m+1>0恒成立,以下分两种情况进行讨论。
当m=0时,可得1>0,适合题意;
当m≠0时,由mx2-mx+m+1>0恒成立得解得m>0。
综上可得,m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞)。应选B。
解决一些含参数的不等式问题,往往离不开参数的取值范围或限制条件,对参数进行合理的分类讨论是解题的关键。
例3 (2023年高考上海卷)已知a∈R,记y=sinx在[a,2a]上的最小值为sa,在[2a,3a]上的最小值为ta,则下列情况不可能的是( )。
A.sa>0,ta>0 B.sa<0,ta<0
C.sa>0,ta<0 D.sa<0,ta>0
分析:根据正弦函数的图像,利用参数a和对应区间上的最值,结合特殊值的选取进行分类讨论,进而判断三角函数在给定区间上的最小值的正负情况。
解:依题中给出的区间,可知a>0,区间[a,2a]与区间[2a,3a]相邻,且区间长度相同,画出函数y=sinx的部分图像,如图1所示。
图1
综上可知,不可能成立的是sa<0,ta>0。应选D。
本题是利用三角函数的图像,结合参数的特殊取值进行分类讨论求解的。
例4 若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值为2,最小值为m,函数g(x)=(3+2m)x在区间[0,+∞)上是增函数,则a+m=____。
分析:利用对数函数的基本性质,对底数a的两种不同取值进行分类讨论,结合函数在给定区间上的最值构建关系式,确定对应的参数值。
解:结合对数函数的基本性质,分以下两种情况进行讨论。
当a>1时,函数f(x)=logax是正实数集上的增函数,而函数f(x)=logax在区间上的最大值为2,所以f(4)=loga4=2,解得a=2,所以,此时g(x)=x在区间[0,+∞)上是增函数,符合题意,所以a+m=2-1=1。
当0
综上可得,a+m=1。
本题是利用对数函数的底数a的两种不同取值情况,结合对应函数的单调性求解的。
1.若命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是( )。
A.(- ∞,4] B.(- ∞,4)
C.(-∞,-4) D.[-4,+∞)
提示:因为命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,所以“∃x0∈R,x20-4x0+a=0”是真命题,所以方程x2-4x+a=0 有实根,所以Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4。应选A。
2.若命题“∃x∈R,(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2<0”是真命题,则实数a的取值范围为_____。
提示:①若a2-3a+2=0,则a=1或a=2。当a=1 时,不等式为2<0,显然不成立;当a=2时,不等式为x+2<0,显然∃x∈R,使x+2<0 成 立,即a=2 符 合 题 意。②若a2-3a+2<0,则10,则a<1或a>2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向上,要使其符合题意,只需方程(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2=0 有两个不相等的实根,所以Δ=(a-1)2-4×2(a2-3a+2)>0,解得,所以
由①②③得实数a的取值范围为1<,即
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